新智元报导  

作者：马杰

修改：KingHZ 

1947年，，陶哲轩的伯乐Erd?s提出了组合数学中Ramsey数下界。。。。

10岁的陶哲轩和Erd?s

最近，，海内的马杰等三位钻研职员联手带来了首次指数级改善。。。。

他们宣布了一篇arxiv新论文展现了这一领域的惊人开展：

论文链接：https://arxiv.org/abs/2507.12926

数学家、核算机科学家Gil Kalai批注改善令人赞叹！

什么是Ramsey数？？？
？？

在近百年前，，英国逻辑学家Frank Ramsey就证实晰这样一个滑稽的定论：

在一个六人聚会中，，不管这六人之间的联系怎么，，总能找到三人相互相识，，或许三人互不相识。。。。

Frank Ramsey（1903–1930）英年早逝，，年仅26岁。。。。除了数学，，在哲学上，，他效果斐然，，被公以为二十世纪最主要和最具影响力的头脑家之一

这个简略而直观的例如，，正是Ramsey理论的最早雏形。。。。

当图中的节点数目一直添加时，，图中就会泛起越来越杂乱的结构。。。。而在整数序列中，，也会自然浮现出类似的有序形式。。。。

荷兰数学家兼数学史学家Bartel Leendert van der Waerden以前证实：纵然是一组看似随机的整数，，也肯定会泛起某种等差数列结构。。。。

这种征象提醒了Ramsey理论的中心头脑：

当元素数目知足多时，，某些有序形式的泛起将变得不可避免。。。。也即是说，，杂乱之中也会自觉地爆发序次。。。。

Ramsey数即是关于图论中有序形式：

Ramsey数用于权衡图论中图的妄想——图在变大到某个水平后，，某些特定的形式将不可避免地泛起。。。。

例如，，将五个极点两两相连，，组成一个彻底图（即每个极点都与其他一切极点相连）。。。。在五个极点的彻底图中，，咱们能够把每条边涂成红色或蓝色，，并且依然能够避免泛起三个极点之间的一切边色彩相同的状态。。。。

但若是是六个极点，，不管怎么上色，，都会不可避免地泛起三个极点之间的边色彩相同的情形。。。。

关于运用两种色彩，，并要求图中不泛起巨细为3的同色彻基础图（clique），，对应的Ramsey数R(3，，3)是6。。。。上图标出了一个由三个极点组成的单色团。。。。

换句话，，在一个聚会中，，能够包管其间三小我私家之前现已见过面，，而别的三小我私家相互都不知道，，最低只需要6小我私家。。。。但若是将总数削减到五个，，这种确认性就会消逝。。。。

国际级难题

可是，，数学家们发明，，要确认究竟在哪个点这些形式肯定会泛起，，也即是找到这个「临界阈值」，，极端难题。。。。除了最简略的情形，，现在简直都无法准确核算出来。。。。

 Ramsey数R(a，，b)的一些已知值

例如，，R(5,5)  是一个代表性的问题，，批注图中肯定会泛起红色或蓝色的五边形结构。。。。其准确值仍未确认，，其时仅知其介于43和48之间。。。。

在钻研Ramsey数的圈内，，撒播着一个广为人知的寓言，，通常被以叔嫂儿淫超级性感少妇淫乱伦;乱小说为出自Erd?s，，用来形象地剖析这个问题的难度添加有何等迅猛。。。。

寓言是这样的：

有一天，，外星人侵略地球。。。。他们提出条件：只需人类能算出一个准确的Ramsey数，，他们就放过地球。。。。 

若是他们问的是Ramsey数R（5，，5），，咱们应该马上发动整小我私家类文明的核算本领，，竭尽全力去求解它。。。。

 但若是他们问的是R（6，，6）——那最好扬弃梦想，，准备斗争。。。。

只管云云，，数学家仍一直考试推动上界和下界的收敛，，并在历程中探讨新的证实战略。。。。

Erd?s与相助者曾首创性地用概率推断图中结构的泛起，，然后避免上界过大。。。。这些步伐不但极大推动了数学，，也为算规则划带来了突破。。。。

拉姆齐原理的魅力在于它的普适性：从数论到核算机科学，，从图论到逻辑学和几许学，，这一理论的深远影响简直遍布整个数学国际。。。。

天才数学家的步伐

Erd?s，，匈牙利数学家，，1913年3月26日—1996年9月20日，，在数论和核算机科学等多个领域做出了主要贡献。。。。

Erd?s，，中文名全称为埃尔德什·帕尔，，原名Erd?s Pál，，英语名Paul Erd?s。。。。他宣布论文高达1525篇（包括与人合写的），，是现在宣布论文数最多的数学家（其次是欧拉）；；；曾和511人合写论文。。。。

Erd?s乐成的要害公式：数学家+数学家+数学家=更多、更好的数学

1947年，，Erd?s提出的最先下界是经由随机染色Kn获得的：每条边以概率p被染成红色，，其他状态下染成蓝色。。。。

论文链接：https://www.ams.org/journals/bull/1947-53-04/S0002-9904-1947-08785-1/S0002-9904-1947-08785-1.pdf

Erd?s步伐预算Ramsey数的技巧分为5大步：

（1）假定从一个包括10个极点的彻底图启航。。。。若是咱们用3种色彩（例如红、蓝、黄）随机为每条边染色，，那么图中是否总会泛起5个极点，，其间的10条边都被染成相同色彩？？？
？？

（2）每条边被染成红色的概率是1/3。。。。

（3）因而，，10条边都恰恰为红色的概率是 (1/3)??。。。。

（4）由于咱们有3种色彩，，任何一种都或许组成一个单色团(clique)。。。。

（5）而10个极点中或许组成的5-点子集（也即是5-点团）共有252种组合步伐。。。。

以是，，泛起恣意色彩的5点单色团的整体概率不逾越：(1/3)??×3×252小于1。。。。

上图中高亮展现了一个知足该条件的红色子图：由5个极点和10条红色边组成的红色团（彻基础图）。。。。

这即是所谓的并集界（union bound）：它预算的是在随机染色下天生单色团的或许性。。。。由于这个值小于1，，意味着在某些状态下，，10个极点的图能够**不包括**恣意色彩的 5 点单色团。。。。

以是咱们能够得出定论：这个Ramsey数（批注5点单色团肯定泛起的最小极点数）肯定大于10。。。。

继续的应战

Erd?s等人几十年条件出的概率步伐，，依据随机图中泛起目的结构的或许性，，并连系一些数学正义，，得出较为合理的上界。。。。这一思绪不但乐成运行了近百年，，还推动了算法中随机性运用的开展。。。。

马里兰大学核算机科学教授William Gasarch指出，，这些概率手艺现已被用于网络路由算法，，以及理论核算机科学的中心问题中。。。。

路由算法能够在多个节点间随机挑选途径，，然后避免穷举整个网超级性感少妇淫乱伦rong>叔嫂儿淫乱小说络来寻觅最优结构。。。。

1980年月前期，，清华「姚班之父」、图灵奖得主姚期智证实晰，，在数据表抵达肯定巨细后，，其行有须要举行排序，，本领避免造访功率的下降，，这也是Ramsey理论在核算机使用中的一个典范实例。。。。

可是，，数学家们逐步意识到，，质朴的概率步伐保存限制。。。。这增进他们转向新的步伐：结构遵从清晰规则的图结构，，以人为避免某些clique的泛起，，直到其变得不可避免。。。。与彻底依赖随机历程较量，，这种结构步伐在某些情境下或许更有用。。。。

三十多年前，，普林斯顿大学数学教授Noga Alon提出了一种确认性结构无三角形图（triangle-free graph）的步伐，，取得了乐成。。。。但更大妄想图的结构仍缺少牢靠牢靠的手法，，因而随机天生仍是其时最有用的工具。。。。

Mattheus与Verstraete依附有限几许中的工具，，对 R(4,t) 的上界举行了深入钻研。。。。他们想法从初始伪随机图中除掉一切四节点clique，，并在此基础上结构了一个证实，，展现了随着t的添加，，其上界怎么添加。。。。

论文链接：https://arxiv.org/abs/2306.04007

2023年，，数学家Gil Kalai介绍过其时取得的最新效果。。。。

链接：https://gilkalai.wordpress.com/2023/03/16/some-news-from-a-seminar-in-cambridge/

今年5月，，Marcelo Campos、Simon Griffiths、Robert Morris和Julian Sahasrabudhe证实晰R(3，，k)指数级的改善。。。。

论文链接：https://arxiv.org/abs/2505.13371

而关于更一样平常的Ramsey数的下界，，最佳纪录是1974年Joel  Spencer提出的。。。。

论文链接：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316575900710

逾越Ramsey理论

由 Jie Ma、Wujie Shen和Shengjie Xie编撰的论文中引进并钻研了一类几许随机图模子。。。。这类模子自身就具有较高的钻研价值，，以致凌驾了Ramsey理论的领域。。。。

正如作者所指出的，，现在仍无法确认在C=1的状态下是否能取得比 Erd?s 1947年结构更优的下界。。。。

钻研当C→1时的状态以及?怎么依赖于C，，也是一个滑稽的问题。。。。

咱们是否能逾越Erd?s前期结构，，依然是一个悬而未决的问题。。。。

数学家、核算机科学家Gil Kalai批注：论文中所思量的随机模子令人形象深入。。。。

在d维球面上随机挑选n个点。。。。

设置一个阈值，，并依据两点之间的距离是否低于该阈值，，将它们之间的边染色为蓝色或红色。。。。

阈值的挑选使得边是红色的概率为p（因而边是蓝色的概率为1-p）。。。。

这一模子与Erd?s–Rényi模子 G(n,p) 有些类似，，但添加了巧妙的相互依赖性。。。。与G(n,p)模子较量，，这些纤细的依赖联系导致红色和蓝色大团的预期数目（或仅是概率）削减，，怎么相识这一机制将是一个滑稽的课题。。。。

论文的要害贡献在于杂乱的剖析历程，，触及挑选维度d以及核算最大红色和蓝色团的巨细。。。。

参考资料： 

https://gilkalai.wordpress.com/2025/07/23/amazing-jie-ma-wujie-shen-and-shengjie-xie-gave-an-exponential-improvement-for-ramsey-lower-bounds/ 

https://arxiv.org/pdf/2507.12926 

https://www.quantamagazine.org/after-nearly-a-century-a-new-limit-for-patterns-in-graphs-20230502/ 

https://www.quantamagazine.org/new-math-proof-raises-lower-bounds-of-graph-randomness-20201104/ 

https://cacm.acm.org/news/the-secret-of-ramsey-numbers/ 

本文来自微信公共号“新智元”，，作者：新智元，，36氪经授权宣布。。。。