新智元报导  

作者：马杰

修改：KingHZ 

1947年，，陶哲轩的伯乐Erd?s提出了组合数学中Ramsey数下界。。。。

10岁的陶哲轩和Erd?s

最近，，海内的马杰等三位钻研职员联手带来了首次指数级改善。。。。

他们宣布了一篇arxiv新论文展现了这一领域的惊人开展：

论文链接：https://arxiv.org/abs/2507.12926

数学家、核算机科学家Gil Kalai批注改善令人赞叹！

什么是Ramsey数？？？？

在近百年前，，英国逻辑学家Frank Ramsey就证实晰这样一个滑稽的定论：

在一个六人聚会中，，不管这六人之间的联系怎么，，总能找到三人相互相识，，或许三人互不相识。。。。

Frank Ramsey（1903–1930）英年早逝，，年仅26岁。。。。除了数学，，在哲学上，，他效果斐然，，被公以为二十世纪最主要和最具影响力的头脑家之一

这个简略而直观的例如，，正是Ramsey理论的最早雏形。。。。

当图中的节点数目一直添加时，，图中就会泛起越来越杂乱的结构。。。。而在整数序列中，，也会自然浮现出类似的有序形式。。。。

荷兰数学家兼数学史学家Bartel Leendert van der Waerden以前证实：纵然是一组看似随机的整数，，也肯定会泛起某种等差数列结构。。。。

这种征象提醒了Ramsey理论的中心头脑：

当元素数目知足多时，，某些有序形式的泛起将变得不可避免。。。。也即是说，，杂乱之中也会自觉地爆发序次。。。。

Ramsey数即是关于图论中有序形式：

Ramsey数用于权衡图论中图的妄想——图在变大到某个水平后，，某些特定的形式将不可避免地泛起。。。。

例如，，将五个极点两两相连，，组成一个彻底图（即每个极点都与其他一切极点相连）。。。。在五个极点的彻底图中，，咱们能够把每条边涂成红色或蓝色，，并且依然能够避免泛起三个极点之间的一切边色彩相同的状态。。。。

但若是是六个极点，，不管怎么上色，，都会不可避免地泛起三个极点之间的边色彩相同的情形。。。。

关于运用两种色彩，，并要求图中不泛起巨细为3的同色彻基础图（clique），，对应的Ramsey数R(3，，3)是6。。。。上图标出了一个由三个极点组成的单色团。。。。

换句话，，在一个聚会中，，能够包管其间三小我私家之前现已见过面，，而别的三小我私家相互都不知道，，最低只需要6小我私家。。。。但若是将总数削减到五个，，这种确认性就会消逝。。。。

国际级难题

可是，，数学家们发明，，要确认究竟在哪个点这些形式肯定会泛起，，也即是找到这个「临界阈值」，，极端难题。。。。除了最简略的情形，，现在简直都无法准确核算出来。。。。

 Ramsey数R(a，，b)的一些已知值

例如，，R(5,5)  是一个代表性的问题，，批注图中肯定会泛起红色或蓝色的五边形结构。。。。其准确值仍未确认，，其时仅知其介于43和48之间。。。。

在钻研Ramsey数的圈内，，撒播着一个广为人知的寓言，，通常被以我们的红哪个省份色情交易多;色情怀为出自Erd?s，，用来形象地剖析这个问题的难度添加有何等迅猛。。。。

寓言是这样的：

有一天，，外星人侵略地球。。。。他们提出条件：只需人类能算出一个准确的Ramsey数，，他们就放过地球。。。。 

若是他们问的是Ramsey数R（5，，5），，咱们应该马上发动整小我私家类文明的核算本领，，竭尽全力去求解它。。。。

 但若是他们问的是R（6，，6）——那最好扬弃梦想，，准备斗争。。。。

只管云云，，数学家仍一直考试推动上界和下界的收敛，，并在历程中探讨新的证实战略。。。。

Erd?s与相助者曾首创性地用概率推断图中结构的泛起，，然后避免上界过大。。。。这些步伐不但极大推动了数学，，也为算规则划带来了突破。。。。

拉姆齐原理的魅力在于它的普适性：从数论到核算机科学，，从图论到逻辑学和几许学，，这一理论的深远影响简直遍布整个数学国际。。。。

天才数学家的步伐

Erd?s，，匈牙利数学家，，1913年3月26日—1996年9月20日，，在数论和核算机科学等多个领域做出了主要贡献。。。。

Erd?s，，中文名全称为埃尔德什·帕尔，，原名Erd?s Pál，，英语名Paul Erd?s。。。。他宣布论文高达1525篇（包括与人合写的），，是现在宣布论文数最多的数学家（其次是欧拉）；；曾和511人合写论文。。。。

Erd?s乐成的要害公式：数学家+数学家+数学家=更多、更好的数学

1947年，，Erd?s提出的最先下界是经由随机染色Kn获得的：每条边以概率p被染成红色，，其他状态下染成蓝色。。。。

论文链接：https://www.ams.org/journals/bull/1947-53-04/S0002-9904-1947-08785-1/S0002-9904-1947-08785-1.pdf

Erd?s步伐预算Ramsey数的技巧分为5大步：

（1）假定从一个包括10个极点的彻底图启航。。。。若是咱们用3种色彩（例如红、蓝、黄）随机为每条边染色，，那么图中是否总会泛起5个极点，，其间的10条边都被染成相同色彩？？？？

（2）每条边被染成红色的概率是1/3。。。。

（3）因而，，10条边都恰恰为红色的概率是 (1/3)??。。。。

（4）由于咱们有3种色彩，，任何一种都或许组成一个单色团(clique)。。。。

（5）而10个极点中或许组成的5-点子集（也即是5-点团）共有252种组合步伐。。。。

以是，，泛起恣意色彩的5点单色团的整体概率不逾越：(1/3)??×3×252小于1。。。。

上图中高亮展现了一个知足该条件的红色子图：由5个极点和10条红色边组成的红色团（彻基础图）。。。。

这即是所谓的并集界（union bound）：它预算的是在随机染色下天生单色团的或许性。。。。由于这个值小于1，，意味着在某些状态下，，10个极点的图能够**不包括**恣意色彩的 5 点单色团。。。。

以是咱们能够得出定论：这个Ramsey数（批注5点单色团肯定泛起的最小极点数）肯定大于10。。。。

继续的应战

Erd?s等人几十年条件出的概率步伐，，依据随机图中泛起目的结构的或许性，，并连系一些数学正义，，得出较为合理的上界。。。。这一思绪不但乐成运行了近百年，，还推动了算法中随机性运用的开展。。。。

马里兰大学核算机科学教授William Gasarch指出，，这些概率手艺现已被用于网络路由算法，，以及理论核算机科学的中心问题中。。。。

路由算法能够在多个节点间随机挑选途径，，然后避免穷举整个网哪个省份色情交易多rong>我们的红色情怀络来寻觅最优结构。。。。

1980年月前期，，清华「姚班之父」、图灵奖得主姚期智证实晰，，在数据表抵达肯定巨细后，，其行有须要举行排序，，本领避免造访功率的下降，，这也是Ramsey理论在核算机使用中的一个典范实例。。。。

可是，，数学家们逐步意识到，，质朴的概率步伐保存限制。。。。这增进他们转向新的步伐：结构遵从清晰规则的图结构，，以人为避免某些clique的泛起，，直到其变得不可避免。。。。与彻底依赖随机历程较量，，这种结构步伐在某些情境下或许更有用。。。。

三十多年前，，普林斯顿大学数学教授Noga Alon提出了一种确认性结构无三角形图（triangle-free graph）的步伐，，取得了乐成。。。。但更大妄想图的结构仍缺少牢靠牢靠的手法，，因而随机天生仍是其时最有用的工具。。。。

Mattheus与Verstraete依附有限几许中的工具，，对 R(4,t) 的上界举行了深入钻研。。。。他们想法从初始伪随机图中除掉一切四节点clique，，并在此基础上结构了一个证实，，展现了随着t的添加，，其上界怎么添加。。。。

论文链接：https://arxiv.org/abs/2306.04007

2023年，，数学家Gil Kalai介绍过其时取得的最新效果。。。。

链接：https://gilkalai.wordpress.com/2023/03/16/some-news-from-a-seminar-in-cambridge/

今年5月，，Marcelo Campos、Simon Griffiths、Robert Morris和Julian Sahasrabudhe证实晰R(3，，k)指数级的改善。。。。

论文链接：https://arxiv.org/abs/2505.13371

而关于更一样平常的Ramsey数的下界，，最佳纪录是1974年Joel  Spencer提出的。。。。

论文链接：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316575900710

逾越Ramsey理论

由 Jie Ma、Wujie Shen和Shengjie Xie编撰的论文中引进并钻研了一类几许随机图模子。。。。这类模子自身就具有较高的钻研价值，，以致凌驾了Ramsey理论的领域。。。。

正如作者所指出的，，现在仍无法确认在C=1的状态下是否能取得比 Erd?s 1947年结构更优的下界。。。。

钻研当C→1时的状态以及?怎么依赖于C，，也是一个滑稽的问题。。。。

咱们是否能逾越Erd?s前期结构，，依然是一个悬而未决的问题。。。。

数学家、核算机科学家Gil Kalai批注：论文中所思量的随机模子令人形象深入。。。。

在d维球面上随机挑选n个点。。。。

设置一个阈值，，并依据两点之间的距离是否低于该阈值，，将它们之间的边染色为蓝色或红色。。。。

阈值的挑选使得边是红色的概率为p（因而边是蓝色的概率为1-p）。。。。

这一模子与Erd?s–Rényi模子 G(n,p) 有些类似，，但添加了巧妙的相互依赖性。。。。与G(n,p)模子较量，，这些纤细的依赖联系导致红色和蓝色大团的预期数目（或仅是概率）削减，，怎么相识这一机制将是一个滑稽的课题。。。。

论文的要害贡献在于杂乱的剖析历程，，触及挑选维度d以及核算最大红色和蓝色团的巨细。。。。

参考资料： 

https://gilkalai.wordpress.com/2025/07/23/amazing-jie-ma-wujie-shen-and-shengjie-xie-gave-an-exponential-improvement-for-ramsey-lower-bounds/ 

https://arxiv.org/pdf/2507.12926 

https://www.quantamagazine.org/after-nearly-a-century-a-new-limit-for-patterns-in-graphs-20230502/ 

https://www.quantamagazine.org/new-math-proof-raises-lower-bounds-of-graph-randomness-20201104/ 

https://cacm.acm.org/news/the-secret-of-ramsey-numbers/ 

本文来自微信公共号“新智元”，，作者：新智元，，36氪经授权宣布。。。。